2026 年甘肃预赛

解答

因为 $b,c>0$ 且 $2S=bc\sin A$，原等式等价于

移项并使用和角公式，得到

即

由 $A+B=\pi -C$、$A+C=\pi -B$，上式化为

由于 $\sin B>0$，必有 $\pi /2<C<\pi$。令 $\theta =C-\pi /2\in (0,\pi /2)$，则式 (1) 为 $\sin B=\sin \theta$。 若 $B=\pi -\theta$，则 $B+C=3\pi /2>\pi$，不可能；故

进而

所以 $0<B<\pi /4$。

(1) 当 $B=\pi /6$ 时，

(2) 由正弦定理和 $a=2$，

又 $\sin A=\cos 2B$、$\sin C=\cos B$，所以

当 $0<B<\pi /4$ 时，

因此