培玉 · 一试
2021 年上海预赛
F3填空题概率
一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为 和 。则使得关于 的三次方程
有三个互不相等的实数根的概率 。（用数字作答）
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先识别固定根 ，再对剩余二次因式检查判别式和是否再次出现根 。
解答
多项式分解为
要有三个互不相等的实根，需要
当 时，只有 使判别式为正，但此时二次因式也有根 ，不合要求。 当 时， 合法，共 种。 当 时六个 的判别式均为正，但 应排除，共 种。 当 时各有 种。故合法有序点数对共有
个，所求概率为
复核
两次掷骰子的 个有序结果等可能；判别式严格大于零且二次因式在 处非零，正好保证三根互异。
方法总结
参数多项式的概率计数先因式分解，把“互异实根”拆成判别式与公共根两个条件后逐格枚举。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
识别固定根1后需同时检查剩余二次式判别式为正及不再含1，再按骰子整数范围作完整计数。
已记下，谢谢！