2012 年河南预赛 · 第 11 题

解答

记 $s=\sqrt{2},r=s-1$，则 $0<r<1$。递推 $x_{n+1}=(x_n+2)/(x_n+1)$ 保证各项正。令 $z_n=(x_n-s)/(x_n+s)$，化简得 $z_{n+1}=-r^2{z}_n$。因 $z_1=-r^2$，有 $z_n=(-r^2{)}^n$。又 $z_n=1-2s/(x_n+s)$，故

另一方面，$x_{n+1}-s=(1-s)(x_n-s)/(x_n+1)$，所以 $b_{n+1}=r{b}_n/(x_n+1)<r{b}_n$。由 $b_1=r$ 得 $b_n\le r^n$，从而