培玉 · 一试
2014 年辽宁预赛 · 第 9 题
F2填空题概率
甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 分、负者得 分。比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为 .
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
分差从零开始，停止只能在偶数局。
思路
若每两局一胜一负，分差回到零，比赛才可能继续；以两局为一组计算存活概率。
解答
令 。在分差为零时，连续两局同一人获胜的概率为 ，此时分差达到 ；两局各胜一局的概率为 ，此时回到平分。
因此 只取 ，其概率为
最后一项包含第五、第六局是否形成两分差的全部情况，因为无论如何打满六局都停止。故
复核
三项概率之和为 。也可按是否需要每组两局计算期望：第一组必打，第二组以概率 需要打，第三组以概率 需要打，故 。全枚举六局结果并应用提前停止规则同样给出该值。
方法总结
有最长局数限制的停止问题，要把到达上限时的所有剩余概率全部归入终止。按能回到同一状态的小区块划分，可简化分布与期望。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两局混合胜负才回到平分状态，可按固定小区块求存活概率；到最长局数时所有剩余情况都必须停止。
已记下，谢谢！