2016 年黑龙江预赛 · 第 15 题

解答

对 $j=1,\dots ,1007$，有 $a_{2j}+a_{2j+1}=2j(-1{)}^j$，所以 $S_{2015}=a_1+2{\sum }_{j=1}^{1007}j(-1{)}^j=a_1-1008$。题设化为 $a_1+m=1$，又 $a_{1}m>0$，故两者均为正。于是 $\frac{1}{a_1}+\frac{4}{m}\ge \frac{(1+2{)}^2}{a_1+m}=9$。在 $a_1=1/3,m=2/3$ 时等号成立；任意给定 $a_1$ 后原相邻和关系都可递推定义全部实数项，故此取等可行。所求为 $\boxed{9}$。