2013 年安徽预赛 · 第 12 题

F4解答题递推数列

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n} = \frac{( 1 + a _{n - 1} ) ^{2}}{a _{n - 2}} (n \geq 3)$ 。

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 求证：对任意正整数 $k$ ， $a_{2 k - 1}$ 和 $\frac{a _{2 k}}{2}$ 都是整数。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

须经历正根换元、乘积不变量、二阶线性化与奇偶子序列整性四层转换，正根及初值都要严核。

用到的方法（会透露解法方向）