2023 年内蒙古预赛

解答

记

$m,n\ne 0$，所以弦所在直线可写成

设 $A,B$ 的纵坐标为 $y_1,y_2$，则 $x_i=m(1-y_i/n)$。代入椭圆并整理，得到

因 $A,B$ 不同，$y_1,y_2$ 也不同。由韦达定理，

三条斜率存在且非零，特别保证

若 $h=n$，$MQ$ 不是水平线就是无法定义，故不会满足题设。

由 (1) 与 $h=3/n$ 直接化简，有

因此在 (2) 保证的合法分母下，

记 $r_X$ 为 $MX$ 斜率的倒数。令 $D=u-m+(m/n)h$，则

使用 (3)，

故

特别地，$MQ$ 的倒斜率就是中项。