同一骨架 2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 1 题 · P007360
两题都可以先允许重复地累加，再把同一个结果被多算的部分扣掉。要先认清被计数的最终对象，并准确说明重叠对象究竟被算了几次。
一个结果是集合中的数，另一个结果是一个选点组；“按产生途径计数”都可能重计。
培玉 · 一试
2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题
F3填空题概率
在平面直角坐标系 中，点集 。在 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 的概率是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先选出距离为 的点对，再选择第三点会重复计数；重复恰来自共享端点的两个合格点对，可作一次容斥修正。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
中有 个点，等可能的三点子集共 个。把八个非原点按图记为 ，下标按模 理解。
距离为 当且仅当两坐标差的绝对值为 。每个 恰与 合格，原点不与任何点合格，故合格点对共 对。 先选合格点对，再从其余点中选第三点，得到 次计数。 每个合格点对的两个端点，其坐标和的奇偶性相反，因此三个点不可能两两都合格。一个三点集若含两对合格点对，必形如 ，中间的公共端点唯一，恰有 个这样的集合；它们各被重复计数一次。 所以所求概率为 。
复核
直接检查九点全部 个三点子集，合格点对数为 的集合分别有 个，满足 ，与容斥计数相符。
方法总结
“至少一对”的随机选点问题可按点对计数，但需查清一个样本最多含几对，以及重计样本的唯一描述。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需按合格点对计数并识别共享端点造成的重复，证明不存在三对同时合格后完成容斥。
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同一骨架 2025 年广西预赛 · P006246
“至少出现一个合格点对或相邻对”会让同一结果有多种见证。两题都先按指定对计数，再看这些对能否同时出现及怎样共享端点，按实际重数修正累加。
一题的见证边落在排列中，另一题落在三点子集中；边的交叠结构决定修正项。
易混 2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 6 题 · P007267
同一张网格上，“至少有一对达到指定距离”与“每一对都不超过上界”并不是简单对换。两题应先列清不合格或合格的点对类型，再决定按见证对容斥，还是按三点组的位置类别分类。
两个距离限制不互为完整补事件，不能仅把一个概率从一中减去。
已记下，谢谢！