培玉 · 一试
2025 年山东预赛
长方体内接四面体的体积
F2填空题立体几何综合
在长方体 中，已知 ，，，则四面体 的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
建立与长方体棱平行的空间坐标系，用三个棱向量的行列式直接求四面体体积。
解答
取
竖直棱长为 ，于是
因此
复核
长方体体积为 ；也可用割补法减去四个体积均为 的角锥，同样得到 。
方法总结
长方体内由四个顶点组成的四面体，既可割补，也可把一个顶点作为原点，用三个顶点向量的混合积除以 。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
四面体占长方体去掉四个角锥的部分，识别割补后每个角锥均为标准底乘高计算。
已记下，谢谢！