同一骨架 2015 年安徽预赛 第 11 题 · P010778
四边形的面积先受相邻边乘积与形状约束控制，再把几何问题降到边长的代数关系。固定面积求长度界与固定边长求面积界，都是先处理形状自由度，再检查最优构型是否真正能实现。
一题还需对角线的独立估计，并要求不同估计同时取等；另一题需在最大面积确定后继续核整数性，不能把面积上界当成已达到的面积。
培玉 · 一试
2014 年安徽预赛 · 第 11 题
F3解答题平面几何综合
已知平面凸四边形 的面积为 。求证：
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把六段长度分成四边和与两对角线和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
对面积为1的凸四边形，前者至少为4，后者至少为2；这两个界能在同一正方形上取到。
解答
记四边长依次为a、b、c、d，周长为p，面积为S=1。沿两条对角线分别分割面积，利用三角形面积不超过两边积的一半，得
相加后
所以p≥4。再记两对角线长为e、f，夹角为θ。凸性给
故 。两界相加即得
单位正方形使两界同时取等，常数不能再提高。
复核
面积分割的两组不等式各使用全部面积一次，随后相加时是4S而非2S。单位正方形四边和4、对角线和2且面积1，等号构型非退化。
方法总结
周长加对角线的最值可先分别估计；但要给同一构型同时达到各界，才能确认整体常数最优。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将四边和与两对角线和分开估计，前者用两套面积分割约束，后者用对角线夹角面积公式；最终须核同一非退化构型能使两个下界同时取等。
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