2026 年四川预赛

思路

凹函数在闭区间的最小值至少可在一个端点取得，因为内部值不小于端点连线。这里只对一个角变量使用凹性，其他方向保持不动；两两方向差不超过直角保证二阶导数非正。

想法从哪来：只把模平方展开并舍掉非负点积，会给出偏弱下界；还需要用平面方向的共同约束。先选一个向量作方向零点，其他方向都可放在左右各直角的范围内；再用两两非钝角条件，发现最大方向差也不超过直角，因此所有向量能装入同一个小扇形。 固定其他方向，模平方关于一个方向角的二阶导数非正，说明沿这段角区间把它推到某一端不会增大目标。逐个推移后，只剩两端方向的整数分组。两端越分开越容易让和短，最后可以取成互相垂直，并把向量数尽量均分。向量允许重复正是等号构造的关键，奇偶差异来自分组数量必须为整数。

两两数量积非负意味着所有方向能放进一个张角不超过 $\pi /2$ 的扇形。目标模的平方对 每一个方向角分别是凹函数，因此把方向逐个推到扇形两端不会增大目标；极值最终化为把 $n$ 个向量尽量平均地分配到两个互相垂直方向。