培玉 · 一试
一试训练题
用总体积求内切球半径
F1填空题立体几何综合
正四棱锥 的底面是边长为 的正方形，顶点 在底面中心 的正上方，。求它的内切球半径，即位于棱锥内部并与底面和四个侧面都相切的球的半径。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先求一个侧面的斜高和总表面积，再把棱锥分成以球心为共同顶点的小棱锥。
思路
内切球心到所有面距离相同。用球心把原棱锥分割，各小锥体积的高都等于半径，相加后有 。本题是正四棱锥，可沿对称轴验证这个球确实存在。
解答
设 为底面一边的中点，则 。侧面斜高为 。每个侧面面积为 ，总表面积 。原棱锥体积 。若内切球半径为 ，连接球心与各面构成五个小棱锥，其体积和为 ，因此 。
。
复核
验证存在性：在轴 上取点 ，使 ，。在垂直底边且经过 的截面中，用 ，侧面截线 为 。 到侧平面的垂距为 ，到基面的距离为 ；取 ，两者都为 。侧面垂足在截线上的坐标为 ，在线段 内，且对应侧三角形的中线上。四侧面对称，垂足都在侧三角形内；底面垂足为内部点 ，故该球确为内切球。
方法总结
内切球用到面的距离，外接球用到顶点的距离；体积分割公式还要核球的存在性。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
侧面勾股求斜高、基本面积体积及3V/S；存在性验算另列。
已记下，谢谢！