专题地图 › 数列的和
2026 年广州预赛
嵌套根式数列的前二十四项和
F2填空题数列的和
数列 {an} 的通项公式为
an=2n+2n2+11,
前 n 项和为 Sn，则 S24=。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：S24=2−1+21(5−2+10−3+17−4+26−5+37−6+65−8+82−9+101−10+122−11+145−12+170−13+197−14+226−15+257−16+290−17+513−18+362−19+401−20+442−21+485−22+530−23+577−24)
解析
思路
第一项与第七项的内层根式都可写成 2 的倍数，利用它们的代数比例合并，再将其余指标逐项代入。
解答
由共轭乘积
(n2+1+n)(n2+1−n)=1,
可得
an2=2n2+1−n,an>0.
因为 72+1=52，第一项与第七项可放在一起处理：
a12a72=22−1,=252−7=2(2−1)3.
两项均为正数，故 a7=(2−1)a1，从而
a1+a7=2a1=2−1.
将其余指标 2,3,4,5,6,8,9,…,24 逐项代入，得到精确值
S24=2−1+21(5−2+10−3+17−4+26−5+37−6+65−8+82−9+101−10+122−11+145−12+170−13+197−14+226−15+257−16+290−17+513−18+362−19+401−20+442−21+485−22+530−23+577−24)
复核
合并使用的恰是 n=1,7 两项；剩下 2 至 6 共五项、8 至 24 共17项，所以展开式共有一个合并根式与22个余项，没有漏项或重复项。其中 325=513，对应 n=18。作为数值复核，
S24≈4.15507532918.
这个近似只用于核对数量级，精确值是上面的有限根式。每个原项还满足 4an4+4nan2−1=0，结合 an>0 可核对所取根的符号。
方法总结
嵌套根式先用共轭乘积化简，再核正根分支；内层根式可用同一个平方根表示的不同项，还可比较平方寻找可合并的代数比例。写出有限和的精确常数时，应逐项核对指标与系数，数值近似另作复核。
为什么评为 F2 · 本站估计（会透露解法方向）
共轭有理化后核正根分支，再识别两项的代数比例并合并；其余根式分组逐项代入，须严格核对指标和系数，运算量较长而不需高阶定理。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用低次关系给高次幂降次
培玉 · 一试