同一骨架 2024 年山东预赛 · P006568
三元对称四次式先用基本对称量降维,注意被减去的三元乘积项会提示边界取等。不能只试三个变量相等,还要检查某一变量为零时能否达到整体上界。
前题需按二次对称量的范围分类,并用Schur给三元乘积下界;后题把剩余一元二次式直接配方,舍项与配方的等号须同时满足。
求最小常数 ,使不等式
对所有非负实数 都成立。
这是解答题,请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
把对称四次式改写为基本对称式。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
令 ,左端会化成关于 的二次式减去非负项。
记左端为 。展开并整理得
因 ,
故 足够。
取 ,则 ,上述两步均取等。因此最小常数为
等号例满足“非负实数”而非必须全正;若错误地只检查 ,会得到较小但不成立的常数 。
对称齐次多项式最值先用 降维;边界等号常由被舍去的 项提示。
把四次对称和写成s平方q减2q平方减sr,再丢弃非正项并配方,最后用一零两相等确认界最佳。
同一骨架 2024 年山东预赛 · P006568
三元对称四次式先用基本对称量降维,注意被减去的三元乘积项会提示边界取等。不能只试三个变量相等,还要检查某一变量为零时能否达到整体上界。
前题需按二次对称量的范围分类,并用Schur给三元乘积下界;后题把剩余一元二次式直接配方,舍项与配方的等号须同时满足。
已记下,谢谢!