培玉 · 一试

专题地图 › 数列的和

2025 年广西预赛

非线性递推数列的倒数望远镜和

F2填空题数列的和

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{0} = \frac{1}{3}$ ，且对一切自然数 $n$ 都有

a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n},

则

n = 0 \sum 2025 \frac{1}{a _{n} + 1}

的整数部分是。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

递推an+1=an(an+1)直接提示倒数作差，和式等于3减末项倒数；算前三次越过1再用单调性即可。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：估计余项，确定整数部分、裂项相消

专题卡：裂成相邻差或比，先看能否全部抵消、整数夹逼：保留余项，证明严格端点