2024 年中科大少年班入围考 · 第 1 题

解答

第一条成立：实数 $a$ 非零当且仅当 $|a|>0$。

第二条不成立：取两个无理数 $a=b=\sqrt{2}$，乘积为 $2$，是有理数。

第三条成立：任给实数 $a$，设 $n=\lfloor a\rfloor$ 为不超过 $a$ 的最大整数，则 $n\le a<n+1$。取整数 $b=-n$，便有 $0\le a+b<1$。

第四条成立：取有理数 $a=0$，则 $\sqrt{a^2+1}=1$ 也是有理数。

因此正确命题的序号为 $\boxed{1,3,4}$。