易混 2026 年新疆预赛 · P005905
由很多参数生成的集合，不一定能按参数组数计数。一题要证明生成值没有重合，另一题却有大量不同表示，必须证明所有允许的整数值都能覆盖；两者需要的证明方向不同。
外观都是“大参数集合求元素数”，关键分别是没有重复与没有空缺。
培玉 · 一试
2026 年吉林预赛
F3填空题集合与简易逻辑
设
则集合 中的元素个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接数 个参数组会大量重复。
思路
把四个变量都减去 后，只需判断四个有限等差集合 的和集是否出现空缺；逐层相加可证明所有中间整数都能取得。
解答
写成
其中 。于是
先看可取得的附加量。逐层相加有
因为四个区间 首尾相接。进而
再加上 ，得到
所以
元素个数为
复核
最小值为 ，最大值为 ；上述区间构造说明 其间每个整数均可取得，因此既没有遗漏也没有把重复参数组重复计数。
方法总结
求有限加权和集的元素数时，应先处理“不同表示可能给出同一元素”的问题。 若每加入一个等差小集合后所得平移区间彼此相交或相接，就能证明整个和集是连续整数区间。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
上下界10与40易得，关键是证明中间无缺口，逐层合并偏移整数区间才能把不同表示转成不同元素计数。
联系 · 2 条
易混 2026 年湖北预赛 · P006024
两题都由有界整数的和产生结果，但集合只关心一个值是否出现，概率却关心这个值有多少种等可能的产生方式。先分清统计的是不同和值，还是给出这些和值的输入组。
相同的和值在前题只保留一次，在后题可能由很多不同样本点贡献。
已记下，谢谢！