2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

思路

相似平面图形的面积按边长比的平方缩放。高为 $h$、两底面积为 $S_1,S_2$ 的棱台体积为 $h(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)/3$；可补成完整棱锥，用相似比的三次方相减推得。

想法从哪来：截面斜着切过正方体，直接套棱锥公式容易认错被切下的立体。先把经过的底面对角线作为分界：在每个水平高度看一片，截线都平行于这条对角线，所留的小三角形只是逐渐缩小。因此先求这一侧的体积，比把整个斜截面顶点逐个找齐更简单。 把棱上分点位置写成 $t$ 后，水平三角形的边长比例从底部的 $1$ 线性变到顶部的 $1-t$，这正是棱台结构。体积比有两种对应，须先由 $0\le t\le 1$ 给这侧体积定范围，才能确定应等于总量的哪一部分。求出二次方程后，另一根超出棱段就舍去；目标是两段的比，还需把位置参数换成 $t/(1-t)$。

把截面另一侧视作上下底相似的三棱台，直接由体积比反推棱上的比例。