垫脚石（相关题 → 此题） 2021 年山东预赛 · P007032
先把曲线内接直角三角形的直角写成点积，并剔除重合端点；再加上两直角边相等的条件，借斜边中点与半弦旋转列全第三顶点，而非从图中猜一个特殊点。
前题斜边水平，端点对称使点积直接因式化；后题斜边为可动焦弦，要同时比较两个旋转方向并核第三点仍在抛物线上，竖直焦弦也须另查。
培玉 · 一试
2012 年湖南预赛 · 第 13 题
F4解答题抛物线
已知 ，过抛物线 焦点的直线斜率为 ，且交抛物线于点 ，记 。
- (1)
试求 的解析式；
- (2)
是否存在抛物线上的点 ，使得 为等腰直角三角形且 为直角顶点？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
平面向量 旋转九十度变为 。若AB是等腰直角三角形斜边，则直角顶点为中点加减半弦的旋转向量。
想法从哪来：第一问若逐个求交点再算距离，会带进两个根式；焦弦的两焦半径之和或根的和差能先把长度简化。第二问也不要任设C再列三个距离方程：给定斜边AB，等腰直角顶点只有两个，正好是弦中点加减“半弦向量旋转九十度”。所以先由韦达关系求中点和半弦，再检验这两个候选是否落在抛物线上。取斜率倒数，可把反复出现的根式统一成一个大于一的变量，最后只需筛选低次方程的根。筛根时必须保留范围条件，并单独解释水平焦线为何不构成双交点弦。
弦长用交点纵坐标的和积求出；等腰直角三角形的第三顶点只有两个，可用弦中点加减半弦的九十度旋转表示。
解答
（1）焦点为 。有限斜率焦弦要求 ，交点纵坐标满足 ，所以 。（2）令 ，弦中点除以 后为 。以 为斜边的两个等腰直角顶点分别为 ，其中 。代入抛物线并化简，得 。 没有大于一的根， 给 ，于是 。所以这种构型存在，且仅当 ；相应第三顶点是 。
复核
符号由相应的 方向配对，不能对任意给定 都声称存在。水平焦线只有一个有限交点；若另考虑竖直焦弦，其两个直角等腰第三顶点都不在抛物线上，不会增加候选。所给两构型中 互异，三角形非退化。
方法总结
先完整列出同一斜边的两个直角等腰第三顶点，再代回曲线，可避免只凭图找特殊角。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
求焦点弦和中点后完整枚举两个直角等腰第三顶点，代回曲线筛全部参数与可行坐标。
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