2016 年山西预赛 · 第 5 题

解答

取 $B=(-1/2,0,0),C=(1/2,0,0),A=(0,\sqrt{3}/2,0)$，竖棱沿纵向第三坐标。上底中心为 $P=(0,\sqrt{3}/6,2)$，所以 $AP$ 的方向是 $(0,-\sqrt{3}/3,2)$。过 $BC$ 且以此为法向量的平面为 $-\sqrt{3}y/3+2z=0$。代入棱 $A{A}_1$ 得 $D=(0,\sqrt{3}/2,1/4)$。它到 $BC$ 的距离为 $\sqrt{3/4+1/16}=\sqrt{13}/4$，底长为一，故截面面积为 $\boxed{\sqrt{13}/8}$。