2017 年天津预赛 · 第 11 题

解答

设圆锥底半径为R、高为h、母线长为L，内切球半径为r。轴截面面积给 $r=Rh/(R+L)$，且 $h^2=L^2-R^2$。两表面积之比为 $4\pi r^2/[\pi R(R+L)]=4R(L-R)/(L+R{)}^2$。令 $t=R/L\in (0,1)$，该比为 $4t(1-t)/(1+t{)}^2$。由 $(1+t{)}^2-8t(1-t)=(3t-1{)}^2\ge 0$ 得比值不超过 $\boxed{1/2}$，当且仅当 $t=1/3$ 时取得。