2017 年中科大少年班初试 · 第 10 题

解答

用三个坐标方向描述棱。对任一方向，把顶点按该坐标分成两组、每组四点。四条匹配棱覆盖该组时，组内棱每条覆盖两个点，跨组棱每条覆盖一个，所以跨组的该方向棱数必为偶数。 三方向总共四棱，因此方向数只能为 $(4,0,0)$ 或 $(2,2,0)$ 及排列。第一类任选一个方向，共三种。第二类先选使用的两个方向，共三种；不使用第三方向时，图分成两个平行正方形，每个正方形的两条匹配边须平行。要总计每个使用方向各两条，必须两个面分别选不同方向，有两种。因此总共 $\boxed{3+3\cdot 2=9}$ 种。