2009 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

原式要求 $\sin x\cos x\ne 0$。设 $s=\sin x+\cos x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，则 $\sin x\cos x=(s^2-1)/2\ne 0$，即 $s\ne \pm 1$。由正切余切和及正割余割和，得到

仍保留 $s\ne \pm 1$。令 $z=s-1\ne 0$，则 $y=1+z+2/z$。若 $z>0$，均值不等式给出 $y\ge 1+2\sqrt{2}$。若 $z<0$，给出 $z+2/z\le -2\sqrt{2}$，故 $y\le 1-2\sqrt{2}<0$，所以 $|y|\ge 2\sqrt{2}-1$。 当 $z=-\sqrt{2}$，即 $s=1-\sqrt{2}$ 时，负支等号成立。此 $s$ 位于允许像区间内且不为 $\pm 1$，故存在合法实角。于是 $\boxed{\min |y|=2\sqrt{2}-1}$。