2016 年河北预赛 · 第 13 题

解答

右焦点为 $F=(1,0)$。取一条弦的单位方向 $(u,v)$，$u^2+v^2=1$，另一条的单位方向取 $(-v,u)$。将直线点 $(1,0)+t(u,v)$ 代入椭圆，得到

记 $K=4u^2+5v^2$、$L=4v^2+5u^2$。由两根平均数，两个中点分别为

直接代入可知 $M,N$ 都满足

式 (1) 的两个一次项系数不可能同时为零。若 $uv\ne 0$，两中点在两条垂直方向上且都不为 $F$，所以不同；若 $uv=0$，两中点就是 $O$ 与 $F$，仍不同。因此 (1) 正是直线 $MN$。点 $\boxed{E=(5/9,0)}$ 对任意 $u,v$ 都满足 (1)，所以为所求定点。 第二问两条弦的斜率都存在，等价于 $uv\ne 0$。由于 $FM\perp FN$，

这里用了 $KL=20+u^2{v}^2$。函数 $8q/(20+q^2)$ 的导数为 $8(20-q^2)/(20+q^2{)}^2>0$，故最大值在 $q=1/2$ 处取得，等于 $\boxed{16/81}$。此时 $u^2=v^2=1/2$，两弦的斜率分别为 $1,-1$。