2026 年甘肃预赛

思路

函数凹时图像位于弦的上方；在 $[0,\pi /2]$ 上余弦凹，故可用端点连线作为下界。导数非负且在任何非退化区间不恒为零，函数严格递增。

想法从哪来：第一问的正弦和正切不适合分别粗估，因为需要严格不等式。把两边移到一侧后求导，倍角关系让导数有机会化为完全平方；导数非负再结合零端点值，可以控制整个开区间，还需解释孤立的导数零点为何不影响严格性。 第二问先代入正弦为零的特殊点，锁定可能的最佳参数。随后证明这个参数确实可行，比直接寻找含超越函数比值的最小点更省力。正弦在主区间的对称性提示构造关于中点对称的误差函数；较远区间改写为平移量，再远处用正弦有界作粗估。不同区间采用不同精度，才容易覆盖整个正半轴。

第一问把两边之差求导后会出现完全平方。第二问先代入 $x=\pi$ 得到必要上界， 再证明 $\pi (x-\sin x)\le x^2$ 对所有正数成立，从而避免求解超越方程的驻点。