专题地图 › 递推数列
2013 年湖北预赛 · 第 12 题
F3解答题递推数列
已知数列 {an}、{bn} 满足 a1=1，b1=3，且
an+1=2+9an2+4bn227an,bn+1=9an2+4bn227bn,n∈N∗.
- (1)
证明：对一切 n∈N∗，有
4(an−1)2+9bn2=1. - (2)
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
先将椭圆化为单位圆，利用递推在圆上的分式形式；再用圆上横坐标的交比化成等比数列。
解答
由初值及递推归纳得 an,bn>0，分母始终正。令 un=(an−1)/2，vn=bn/3，初值为 (u1,v1)=(0,1)。若 un2+vn2=1，则 9an2+4bn2=9(5+4un)，代入得
un+1=5+4un4+5un,vn+1=5+4un3vn.
因 (4+5u)2+9v2=(5+4u)2，故 un+12+vn+12=1，归纳证明 (an−1)2/4+bn2/9=1。 又 bn>0，故 −1<un<1。令 Rn=(1+un)/(1−un)，由上式得 Rn+1=9Rn，R1=1，于是 Rn=9n−1。还原得到
an=9n−1+13⋅9n−1−1.
复核
令 t=3n−1，所得 an=(3t2−1)/(t2+1)，并有 bn=6t/(t2+1)，直接代入椭圆恒等式成立；n=1 给出 a1=1,b1=3，n=2 给出 a2=13/5,b2=9/5，与递推一致。
方法总结
先证明轨道不变量保证换元合法，再用分式变换的不动点构造等比量。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
第一问已明确给出不变量，不要求学生发现隐藏不变量；第二问仍须独立用它降为分式递推并选择两不动点之比，之后是等比数列计算。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：操作中的不变量、递推换元化成线性
专题卡：分式递推求通项：取倒数，把它变成等差或等比数列
培玉 · 一试