2008 年陕西预赛 · 第 2 题

解答

过 $P$ 作垂直于 $l$ 的平面 $\gamma$。两圆与 $l$ 相切，故 $P{O}_1,P{O}_2\perp l$，两圆心都在 $\gamma$ 内。若存在所求球，其球心必在过 $O_i$ 且垂直对应截平面的直线上；这两条直线均位于 $\gamma$。它们分别垂直 $P{O}_1,P{O}_2$，两径向夹角为 $120^{\circ }$，所以两条法线不平行，恰交于一点 $O$。取半径 $R=OP$，由 $O{O}_i\perp P{O}_i$ 有 $R^2=O{O}_i^2+P{O}_i^2$，故该球在两平面的截圆半径正好各为 $P{O}_i$，圆心各为 $O_i$。因此存在且唯一，选 $\boxed{\mathrm{A}}$。