2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

设 $z=u+v\mathrm{i}$，其中 $u,v\in \mathbb{R}$，$u^2+v^2=1$。若原方程有实根 $x$，则

若 $v=0$，则 $u=\pm 1$。$u=1$ 时 $x^2+2x+2=0$ 无实根；$u=-1$ 时 $x^2+2x-2=0$ 有实根，所以 $z=-1$ 符合条件。 若 $v\ne 0$，则 $x=0$ 或 $2$。$x=0$ 与第一个方程矛盾，只能取 $x=2$，从而 $8u+2=0$，即 $u=-1/4$、$v=\pm \sqrt{15}/4$。这两个复数均可取实根 $2$。 因此所求和为