2025 年重庆预赛

解答

设 $|A{F}_1|=x$，并令 $C$ 为 $AB$ 的中点。由 $|F_{2}A|=|F_{2}B|$ 得 $F_{2}C\perp AB$。双曲线定义给出

故 $AB=4a$，$AC=2a$。又 $F_1{F}_2=2c$ 且 $\angle C{F}_1{F}_2=30^{\circ }$，所以

在直角三角形 $AC{F}_2$ 中，

由于 $c=(x+2a)/\sqrt{3}$，可得 $x=(\sqrt{6}-2)a$。与 $x=\sqrt{3}c-2a$ 比较，得到