2015 年天津预赛 · 第 15 题

解答

初值与递推保证各项正。取 $C=2$，有 $a_1\le 2,a_2=8$。若前两项分别不超过 $2(n-1{)}^2,2n^2$，则

归纳得 $\boxed{a_n\le 2n^2}$。 令 ${\Delta }_n=a_{n+1}-a_n$，由原递推得 ${\Delta }_n+{\Delta }_{n-1}=4a_n/n$（$n\ge 2$）。将相邻两式消去 $a_n$，得到

计算 $a_3=17,a_4=92/3$，故 ${\Delta }_1=7,{\Delta }_2=9,{\Delta }_3=41/3$。设 $B_n=4n+2$，则 $(n+1)B_{n+1}=3B_n+n{B}_{n-1}$。于是 $E_n=B_n-{\Delta }_n$ 满足同一正系数递推，且 $E_2=1,E_3=1/3$，归纳得 $E_n>0$ 对 $n\ge 2$ 成立。因此 ${\Delta }_n<4n+2<4n+3$ 对 $n\ge 2$ 成立；$n=1$ 时 ${\Delta }_1=7=4\cdot 1+3$。最终