2012 年天津预赛 · 第 12 题

解答

不等式等价于 $y/4+9/y\ge {\cos }^{2}x+a\sin x$。左侧对正 $y$ 的最小值为三，在 $y=6$ 取等。令 $x=\pi /2,3\pi /2$ 分别得到必要条件 $a\le 3,a\ge -3$。反过来，若 $|a|\le 3$，记 $s=|\sin x|\in [0,1]$，则 ${\cos }^{2}x+a\sin x\le 1-s^2+3s=3-(1-s)(2-s)\le 3$，足以保证全部输入。因此参数范围为 $\boxed{[-3,3]}$。