2008 年河南预赛 · 第 12 题

解答

由 $\sin A=a/(2R)$ 与 $\sin A=2a\sin B$，且 $a>0$，得 $\sin B=1/(4R)=\sqrt{3}/2$。三角形为锐角，故 $B=\pi /3$。于是 $A+C=2\pi /3$，并因 A、C 都锐而有 $\pi /6<A<\pi /2$。记 $d=(A-C)/2\in (-\pi /6,\pi /6)$，周长为 $2R(\sin A+\sin B+\sin C)=\cos d+1/2$。因此完整范围为 $\boxed{((1+\sqrt{3})/2,3/2]}$。