易混 2026 年吉林预赛 · P006048
两题都以很大的整数和短循环收尾，但循环对象不同：一个反复复合函数，另一个平移输入并跟踪函数值的代数变化。取模前应先写清箭头作用在输入还是输出上。
迭代轨道长度不能直接当函数的横向周期；平移一次也未必保持函数值。
培玉 · 一试
2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 1 题
F2填空题函数的图像与性质
设 是定义在 上的函数，对任意实数 有
又当 时，，则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把两个自变量改写为相差 的形式，两次使用乘积条件即可得到周期；再把负自变量移到给定区间。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令原式中的 ，得 ，故 处处非零，且
因此 。由 及 ，得到
复核
，再加 才进入区间 ；相差 时取负倒数，相差 时才保持函数值。
方法总结
遇到平移乘积为非零常数的函数方程，先确认函数无零点，再连续平移，检验是否产生周期。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由相差7的乘积关系连续代入得到周期14，再进行区间归约，属于常规抽象函数求值。
联系 · 3 条
同一骨架 2021 年福建预赛 · P006967
两题都把输入平移看作对函数值的确定作用，再检查这些作用何时复合成恒等。乘积中的符号可以互相抵消，平移乘积条件中的负倒数作用也可在重复后恢复原值。
一个需逐因子跟踪相位并筛整数参数，另一个直接复合函数值变换；不能机械要求每个中间量一次平移就保持不变。
同一骨架 2026 年江苏预赛 · P006071
两题都出现非零量的负倒数作用，先找准应减去的基准，便能识别重复作用后回到原值的结构。几何题中两个中点参数减去基准后互为负倒数，对应的不变量可用于证明两点连线过定点；函数题则将两次平移的负倒数作用合成为周期。
不能只看表面都有倒数：须写出同一个负倒数变换，并保留非零条件；几何题还要核中点不同，函数题还要回到给定初值区间。
已记下，谢谢！