2013 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

（1）$f(0)=0$，$f^{\prime }(x)=-x{e}^x<0$，故正数处 $\boxed{f(x)<0}$。（2）设当前输入为 $t>0$，下一项为 $T=\ln [(e^t-1)/t]$。由 $e^t>1+t$ 得 $T>0$；由第一问得 $(e^t-1)/t<e^t$，所以 $T<t$。另令 $H(s)=e^s-e^{-s}-2s$，有 $H(0)=0$、$H^{\prime }(s)=e^s+e^{-s}-2>0$ 对 $s>0$ 成立，于是 $e^t-1>t{e}^{t/2}$，即 $T>t/2$。因此数列严格递减，且归纳得 $x_n>2^{1-n}$ 对 $n\ge 2$ 成立。连同 $x_1=1$，所求 $\boxed{x_n>1/2^n}$ 对全部正整数成立。