2025 年吉林预赛

解答

令

$h$ 为严格递增奇函数，故

特别地，$\ln (\sqrt{2}+1)<1$，所以选项 A 不可能成立；又因 $f(-x)=-f(x)$，选项 B 要求 $f(x_0)=1$，也不可能成立。

若选项 C 成立，则 $f(f(x_0))$ 取到了 $f$ 的最大值，从而 $\sin (f(x_0))=1$。但 $|f(x_0)|\le \ln (\sqrt{2}+1)<\pi /2$，矛盾。

另一方面，

所以选项 D 等价于 $f(x_0)=-3/4$。由于

结合连续性可知这样的非零 $x_0$ 确实存在。因此选择