2025 年广东预赛

思路

多项式上界可通过误差因式分解验证。此处二次上界与倒数通分后的误差为 $x(x-1{)}^2/[4(1+x)]$，非负自变量下分母正，零与一都是接触点。

想法从哪来：约束给平方和，目标却同时含一次和与倒数和，先猜等号配置可以帮助选择放缩。若让若干变量为一、其余为零，倒数值简单且能满足平方和，提示寻找在零和一都贴合倒数曲线的二次上界。二次式相加时，平方和项正好变成常数，一次项则只剩总和。 构造这个上界可让通分后的误差带有变量以及“一减变量”的平方，保证它在整个非负半轴非负，而不只是零一之间成立。于是目标被一个关于一次和的二次式控制，配方便给统一上界。最后检查每个变量的点态等号与总和的等号能同时实现，避免一个看似尖锐却无法达到的乘积界。

需要把倒数和压到只含 $p=\sum x_i$ 的上界。寻找在 $x=0,1$ 同时取等的二次上界， 恰能利用已知的平方和。