2012 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

点在内部意味着 $m>n^2/(2p)$。设 $r=1/k$，非水平割线的中点为 $U(r)=(m-nr+p{r}^2,pr)$，由交点纵坐标根和即可得。（1）当 $n=0,k_1{k}_2=-1$ 时，$r_1{r}_2=-1$，面积为 $p^2|r_1-r_2|/2\ge p^2$，等号在 $r_1=-r_2=\pm 1$，所以 $\boxed{S_{\min }=p^2}$。（2）记 $S=r_1+r_2,T=r_1{r}_2$，由 $k_1+k_2=\lambda$ 得 $S=\lambda T$。两中点连线为 $x-m+(n/p)y=Sy-pT=S(y-p/\lambda )$。因此它恒过 $\boxed{(m-n/\lambda ,p/\lambda )}$。