2011 年陕西预赛 · 第 8 题

解答

若 $q=2$，则 $2q+11=15$ 不是素数，故 $q$ 为奇素数。若 $p$ 也为奇数，$7p+q$ 就是大于二的偶数，不是素数。因此 $p=2$。 若素数 $q\ne 3$，则 $q\equiv 1$ 或二模三：余一时 $14+q$ 被三整除且大于三；余二时 $2q+11$ 被三整除且大于三，都矛盾。故 $q=3$。此时两个线性式均为十七，确为素数。所求 $\boxed{p^q+q^p=2^3+3^2=17}$。