培玉 · 一试
2011 年山西预赛 · 第 8 题
F3填空题经典的计数模型
如果四位数 的四个数码满足 ，就称其为“好数”；例如 就是一个“好数”。那么，“好数”的个数是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
按前后两位的共同数码和分层，分别计算有首位非零限制的有序数码对和无此限制的数码对。
解答
设 。当 时， 的前两位有 种，后两位有 种；当 时，两边各有 种。因此
复核
数码对有顺序， 与 不同；首位 不能为零，但 可为零。另一核法是允许首位零时共有670组，再扣 的55组，仍为615。
方法总结
等数码和条件按共同和分层；首位限制只影响前一对，不能将前后对数机械平方。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需按共同数码和分层并区分首位非零的前两位与可补零的后两位，最后计算有限平方和。
已记下，谢谢！