2011 年陕西预赛 · 第 9 题

解答

每侧面是边长四的等边三角形，顶角六十度，锥顶到该面底边的面内距离为 $2\sqrt{3}>3$。所以半径三的球在每侧面截出完整六十度圆弧，长度为 $3\cdot \pi /3=\pi$，四侧面合计 $4\pi$。原棱锥高为 $\sqrt{4^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{2}$，小于三，因此球还截到底面，截圆半径 $\sqrt{3^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=1$。该圆完全在边长四的底面正方形内，贡献周长 $2\pi$。总长为 $\boxed{6\pi }$。