2008 年山西预赛 · 第 10 题

解答

数码 $a,b$ 均在一至九。若 $\gcd (a,b)>1$，该公因子也整除两个倒序数。一至九中有序互素数码对共五十五个：以较大数 $j$ 统计为 $2{\sum }_{j=2}^9\phi (j)+1=55$，其中 $\phi (2),\dots ,\phi (9)=1,2,2,4,2,6,4,6$。因此非互素对有二十六个。 若 $\gcd (a,b)=1$，共同素因子 $p$ 同时整除 $99a,99b$，只能为三或十一。三为公因子当且仅当 $a+b\equiv 0(\mathrm{mod}3)$；十一为公因子当且仅当 $a=b$，在互素对里仅 $(1,1)$。 对于和被三整除的互素对，不能二者都被三整除，故一个来自 $\{1,4,7\}$，另一个来自 $\{2,5,8\}$。固定前一集合的元素为一、四、七，分别有三、一、三个互素选择，共七对；交换顺序得十四对。它们不含 $(1,1)$。所以好数有