2015 年安徽预赛 · 第 3 题

解答

记 $r=|\alpha |,s=|\beta |,t=|\alpha +\beta |$。由 $r,s,t\in [1,3]$，

另一方面，

还须确认中间值都可取。令

则两向量模长均为 $q$、和向量模长为 $t$，点积为 $t^2/2-q^2$。 先取 $q=3,1\le t\le 3$，点积取遍 $[-17/2,-9/2]$；再取 $t=3,3/2\le q\le 3$，点积取遍 $[-9/2,9/4]$。这些参数的根式均有意义且满足原三模限制。 所以完整范围为