2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题

解答

三数位数非降、每数至少两位且总和为8，所以位数只可能为 $(2,2,4)$ 或 $(2,3,3)$。

先固定三个数的位数及其顺序，暂不要求相同位数的两个数按大小排列。 把八个数位排成一行，三个首位必须非零，其余位置不受限制。 可用数码为 $0,0,0,2,2,4,8,9$，按首位中 $2$ 的个数分类：

这里相同数码不作区分。因此，对每一种固定的位数顺序，共有 $60+360+180=600$ 种排法。

对 $(2,2,4)$，四位数必大于两个两位数。两个两位数相等时，重复的数只能是20： 重复两次需要每个所用数码至少出现两次，只有0和2可用，首位又不能为0，而22需要四个2。 这时剩余四位数由 $0,4,8,9$ 组成，合法排法为 $4!-3!=18$。 去掉这18种，再将其余排法按交换两位数成对，得到 $(600-18)/2=291$ 种。

对 $(2,3,3)$，两位数必小于两个三位数。两个三位数不可能相等： 相等需要三个数码对，而原数码只能提供一对0和一对2，共两对。 所以此类共有 $600/2=300$ 种。 所有合法两位数至少为20，均满足大于10。综上，所求个数为 $\boxed{291+300=591}$。