同一骨架 2025 年浙江预赛 · P006178
把二次约束改写成带权平方和，目标化为同一组变量的线性组合，便可用配套的柯西不等式求界；取等比例还必须回到原可行范围检查。
前题从椭圆参数下的面积得到两个三角分量；后题通过线性换元分解三元正定二次型，权重由约束决定。
培玉 · 一试
2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题
F2填空题椭圆
在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为 的上焦点， 为 的右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把四边形分为两个以坐标轴上的线段为底的三角形，面积便是动点坐标的线性式；椭圆参数化后可用柯西不等式求最大值。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由椭圆方程得 ，。设
连接 ，则
当 、 时等号成立，且 位于要求的开区间。因此最大值为 。
复核
取等点 的两坐标均正，代入椭圆方程左边为 。
方法总结
椭圆上的线性目标可先缩放为单位圆上的内积；开象限限制要求单独核对取等点的位置。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
面积分解后得到坐标线性式，标准椭圆参数化与柯西直接给界并核象限。
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