一试训练题

解答

记 $T(u)=\frac{u-1}{u+1}$，则 $T(T(u))=\frac{\frac{u-1}{u+1}-1}{\frac{u-1}{u+1}+1}=\frac{-2}{2u}=-\frac{1}{u}$，所以 $T^4(u)=u$。由 $f(1)=3$ 依次得 $f(2)=\frac{1}{2}$，$f(3)=-\frac{1}{3}$，$f(4)=-2$，$f(5)=3$，即 $f(n+4)=f(n)$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），且每个周期四项之积为 $3\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot (-2)=1$。$2026=4\times 506+2$，前 $2024$ 项之积为 $1$，剩下 $f(2025)f(2026)=f(1)f(2)=\frac{3}{2}$。所以所求为 $\boxed{\frac{3}{2}}$。