培玉 · 一试
2009 年辽宁预赛 · 第 10 题
F2填空题函数的图像与性质
设 是给定的常数， 是 上的奇函数，且在 上递减。若 ，，那么 的变化范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
递减性仅在正半轴成立，应先在那里根据零点判断符号，再用奇性反射到负半轴。
思路
最后还原对数时，底数小于一会反转次序。
解答
在 上，由严格递减与 ，
奇性还给 ，并在负半轴得到 。故原不等式等价于
因 ，还原为
所以所求范围是
复核
分别使对数输入为 ，函数值都为零，应排除。所得两个区间全部位于 ，对数有定义。
方法总结
奇函数的局部单调信息先用于一个半轴，再用奇性判断另一半轴的符号。不要把局部递减直接扩成跨原点的全域递减。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正半轴递减只确定该半轴的零点两侧符号，负半轴还须用奇性反射；还原对数输入时，底数小于一会反转次序，三个零值边界都要排除。
已记下，谢谢！