专题地图 › 函数的图像与性质
2015 年中科大少年班初试 · 第 3 题
F2填空题函数的图像与性质
若函数y=f(x)与y=ex的图像关于直线y=−x对称,则f(x)=。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
标准答案:f(x)=−ln(−x)(x<0)
解析
思路
直线 y=−x 的反射将 (u,v) 变为 (−v,−u),与关于 y=x 的反射不同。
解答
在指数图像上任取点 (u,eu)。关于 y=−x 反射后,其坐标为
(x,y)=(−eu,−u).
因此 x<0,且 u=ln(−x),从而
f(x)=−ln(−x)(x<0).
复核
原点输入 u=0 对应图像点 (0,1),反射到 (−1,0),所得公式也给 f(−1)=0。任意 x<0 都可唯一写成 −eu,故新定义域没有漏点。
方法总结
斜线对称先变换点,再消去参数,并由反求参数确认新定义域;两个坐标须一起按对称关系变换。
为什么评为 F2(会透露解法方向)
给定对称轴后的点坐标替换与取对数为标准路线。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:用平移、旋转、对称化简
专题卡:图像翻折、旋转和对称:写出点的坐标怎么变,再求解析式或函数值