2011 年湖南预赛 · 第 14 题

解答

设 $A=\angle BAC$、$x=\angle BAX$、$y=\angle BAY$。先考虑X、Y在BC内部，故0<x,y<A。由共高面积比，

题中长度乘积等式于是等价于

令 $g(t)=\sin t/\sin (A-t)$，则

又g(A−y)=1/g(y)，所以等式成立当且仅当g(x)=g(A−y)，即x=A−y，也就是

若X或Y在端点，直接代入两边长度可核：仅两射线分别取AB、AC时同时成立，其余端点情形均不成立，结论仍一致。