2017 年辽宁预赛 · 第 8 题

解答

取单位立方体 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),B_1=(1,0,1)$，并设 $P=(t,0,0)$，$0\le t\le 1$。平面 $PD{B}_1$ 的法向量可取 $(1,t,t-1)$，侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 的法向量为 $(1,0,0)$。两平面的较小夹角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =1/\sqrt{1+t^2+(1-t{)}^2}$。当且仅当 $t=1/2$ 时分母最小，余弦最大为 $\sqrt{2/3}$。因此最小二面角为 $\boxed{\arccos (\sqrt{6}/3)}$。