易混 2022 年四川预赛 · P006895
两题都可以不坐标化：由模长与点积组成基础数据表，再双线性展开所求方向的点积和模长。
四面体题问无向直线夹角，最后要取点积绝对值；平面题问指定向量夹角，要保留负号所代表的钝角，不能套同一锐角约定。
培玉 · 一试
2025 年云南预赛
四面体两条异面棱所成的角
F2填空题空间角与距离
四面体 中，
则 与 所成的角为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
六条棱长全部给出，取 为原点后，各顶点向量的数量积都可由余弦定理反求。
思路
待求异面直线夹角正是一个向量数量积。
解答
令
由已知棱长及数量积公式，
而 ，故
又 ，所以两直线所成角 满足
因此
复核
由 还可得 ；三个向量的 Gram 行列式为 ，所给棱长确能构成非退化四面体。数量积为正，所得锐角正是异面直线所成的角。
方法总结
四面体中若六条棱长已知，可把一个顶点设为向量原点，用 恢复数量积，再把异面棱写成顶点向量之差。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由两组三边长得到AD与两基向量的数量积，再作差得到AD与BC的数量积，属于标准向量求角。
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